Question

（2014•青山湖区模拟）已知函数f（x）=4lnx+x2-ax（a∈R）．

Answer 1

（I）当a=6时，f′（x）=

2(x2−3x+2)

x，

令f′（x）＞0⇒0＜x＜1或x＞2，f′（x）＜0⇒1＜x＜2，

∴f（x）的递增区间为（0，1）和（2，+∞），递减区间为（1，2）．

（II）由于f（x）有两个极值点x₁，x₂，则2x²-ax+4=0有两个不等的实根，

由题意，得

△＞0

x1+x2＝

a

2

x1x2＝2(0＜x1≤1)⇒

a≥6

a＝2(x1+x2)

x2＝

2

x1

∴f（x₁）-f（x₂）=8lnx₁-x₁²+

4

x12-4ln2（0＜x≤1）

设F（x）=8lnx-x²+[4

x2-4ln2（0＜x≤1）

F′（x）=

8/x]-2x-

8

x3=-

2(x2−2)2

x3＜0，∴F（x）在（0，1]上递减，

∴F（x）≥F（1）=3-4ln2，即f（x₁）-f（x₂）≥3-4ln2．

（III）∵g（x）=2ln（ax+2）+x²