微分解法在求解偏微分方程时将波函数的具体形式与能量量子化一并解出.可以先不加边界条件,这样可得两组解,一组是无穷远波函为零伴随着能量分立,一组是无穷远波函也无穷伴随着能量可能连续,这后一组解显然是非物理的,舍去.
代数解法是将能量量子化与波函数的具体形式的求解分开来进行的.由升降算符之间的对易关系直接导出能量量子化,但不能得出波函的具体形式.通过降位算符作用于基态波函等于零,可列一简单的微分方程,此时可自然得出无穷远处为零的有物理意义的基态波函,再由升位算符可得各激发态的有限的波函.
注意,升降算符只有作用在有限的波函上才有物理意义,否则,不仅波函无物理意义,而且升降算符对无限波函的作用也无物理意义.因此,在从升降算符作用于波函得出升降算符的“升降”的物理意义时,已经暗含了它们作用的波函是有限的边界条件.接下来,有了降位算符的物理意义,才能得出上段中的“通过降位算符作用于基态波函等于零……”.