解题思路:我们用数学归纳法进行证明,先证明当n=1时,左=
1−
1
2
=
1
2
=右,等式成立.
再假设当n=k时等式成立,,进而证明当n=k+1时,等式也成立;
证明:(1)当n=1时,左=1−
1
2=
1
2=右,等式成立.
(2)假设当n=k时等式成立,
即1−
1
2+
1
3−
1
4+…+
1
2k−1−
1
2k=
1
k+1+
1
k+2+…+
1
2k
则1−
1
2+
1
3−
1
4+…+
1
2k−1−
1
2k+(
1
2k+1−
1
2k+2)=[1/k+1+
1
k+2+…+
1
2k+(
1
2k+1−
1
2k+2)=
1
k+2+…+
1
2k+
1
2k+1+
1
2k+2]∴当n=k+1时,等式也成立.
综合(1)(2),等式对所有正整数都成立.
点评:
本题考点: 用数学归纳法证明不等式.
考点点评: 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.