用数学归纳法证明等式:n∈N,n≥1,1−12+13−14+…+12n−1−12n=1n+1+1n+2+…+12n.

1个回答

  • 解题思路:我们用数学归纳法进行证明,先证明当n=1时,左=

    1−

    1

    2

    1

    2

    =右,等式成立.

    再假设当n=k时等式成立,,进而证明当n=k+1时,等式也成立;

    证明:(1)当n=1时,左=1−

    1

    2=

    1

    2=右,等式成立.

    (2)假设当n=k时等式成立,

    即1−

    1

    2+

    1

    3−

    1

    4+…+

    1

    2k−1−

    1

    2k=

    1

    k+1+

    1

    k+2+…+

    1

    2k

    则1−

    1

    2+

    1

    3−

    1

    4+…+

    1

    2k−1−

    1

    2k+(

    1

    2k+1−

    1

    2k+2)=[1/k+1+

    1

    k+2+…+

    1

    2k+(

    1

    2k+1−

    1

    2k+2)=

    1

    k+2+…+

    1

    2k+

    1

    2k+1+

    1

    2k+2]∴当n=k+1时,等式也成立.

    综合(1)(2),等式对所有正整数都成立.

    点评:

    本题考点: 用数学归纳法证明不等式.

    考点点评: 数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.