Question

设u（x，y）的所有二阶偏导数都连续，并且∂2u∂x2−∂2u∂y2=0，现若已知u（x，2x）=x，ux′（x，2x）

Answer 1

解题思路：首先，由u（x，2x）=x，对x求偏导，得到关于u_x′（x，2x）和u_y′（x，2x）的表达式；然后，由已知条件，解出u_y′（x，2x）；最后，再u_x′（x，2x）和u_y′（x，2x）对x求偏导，得到关于二阶偏导数的式子，利用已知的

∂

2

u

∂

x

2

−

∂

2

u

∂

y

2

=0，得到答案．

由对u（x，2x）=x，对x求偏导得

u_x（x，2x）+2u_y（x，2x）=1，

又ux(x，2x)＝x2…（1）

得uy(x，2x)＝

1−x2

2…（2），

（1）（2）式分别对x求偏导得两式

u_xy（x，2x）+2u_yy（x，2x）=-x…（3）

u_xx（x，2x）+2u_xy（x，2x）=2x…（4）

再和u_xx-u_yy=0联立解得

uxx＝uyy＝−

4

3xuxy＝

5

3x

点评：

本题考点： 多元函数偏导数的求法．

考点点评： 此题实际上是考查多元复合函数的链式求偏导法则的运用，分析好题目，找到已知和未知的连接点，就能较快解出题目．