只需证明(E-A)[E+A+A^2+.+A^(k-1)]=E,由于矩阵和单位矩阵E的乘法有可交换性,即AE=EA=A,因此乘法公式a^k-b^k=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b...+b^(n-1)]对于矩阵A和E成立,所以
E^k-A^k=(E-A)[E^(n-1)+E^(n-2)A...+A^(n-1)],故E=(E-A)[E+A+A^2+...+A^(k-1)]
如果A^k=0,证明(E-A)^(-1)=E+A+A^2+.+A^(k-1).
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