证明:若T1,T2是f(X)的两个周期,且 T1/T2不是无理数,则f(X)存在最小正周期

2个回答

  • 标题中的这个结论不成立.

    只要是周期函数,不论有没有最小正周期,都存在两个比值不是无理数(即为有理数)的周期.

    即便把条件加强为"任意两个周期的比值都是有理数",函数也可能没有最小正周期.

    例如Dirichlet函数(有理数处取1,无理数处取0),其周期可以为任意有理数.

    不过,正如你下面写的,其否命题是成立的:

    若f(x)的某两个周期的比值是无理数,则f(x)不存在最小正周期.

    也可以等价的叙述为逆命题

    若f(x)存在最小正周期,则f(x)的任意两个周期的比值都是有理数.

    证明就用:若f(x)存在最小正周期,则f(x)的任意周期均为最小正周期的整数倍.