Question

已知直角三角形的周长为4,求这个直角三角形面积的最大值,并求此时各边的长

Answer 1

设2直角边为a、b,则斜边为4-a-b

a^2+b^2=(4-a-b)^2

ab+8=4a+4b≥8√(ab)

又a+b＜4

8√(ab)≤ab+8＜16

ab＜8,√ab＜2√2,

ab-8√(ab)+8≥0,

√(ab)≤4-2√2或√(ab)≥4+2√2(舍去)

所以√(ab)≤4-2√2

ab≤24-16√2

s=ab/2≤12-8√2

直角三角形面积的最大值为12-8√2,

此时a=b=√(ab)=4-2√2

斜边为4-a-b=4-2(4-2√2)=4√2-4