Question

如图所示，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．

Answer 1

解题思路：（1）欲证B₁D₁∥面A₁BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证B₁D₁与面A₁BD内一直线平行，易证BB₁D₁D是平行四边形，则B₁D₁∥BD，而BD⊂面A₁BD，B₁D₁⊄面A₁B，满足定理所需条件；

（2）因BB₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，根据线面垂直的性质可知BB₁⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，满足线面垂直的判定定理所需条件，则AC⊥面BB₁D，而MD⊂面BB₁D，从而得到结论．

证明：（1）由直四棱柱，得BB₁∥DD且BB₁=DD₁，

所以BB₁D₁D是平行四边形，

所以B₁D₁∥BD

而BD⊂面A₁BD，B₁D₁⊄面A₁B，

所以B₁D₁∥面A₁BD

（2）因为BB₁⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

则BB₁⊥AC

又因为BD⊥AC，且BD∩BB₁=B，

故AC⊥面BB₁D

而MD⊂面BB₁D，所以MD⊥AC．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．

考点点评： 本题主要考查线面平行的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．