函数
目录·简介
·复合函数
·反函数
·隐函数
·多元函数
·二次函数
·一次函数
·三角函数
·函数概念的发展历史
简介
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素.
（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
应变量,函数一个与他量有关联的变量,这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值.
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函数两组元素一一对应的规则,第一组中的每个元素在第二组中只有唯一的对应量.
函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
functions
数学中的一种对应关系,是从某集合A到实数集B的对应.简单地说,甲随着乙变,甲就是乙的函数 .精确地说,设X是一个不空集合,Y是某个实数集合 ,f是个规则 ,若对X中的每个x,按规则f,有Y中的一个y与之对应 ,就称f是X上的一个函数,记作y＝f（x）,称X为函数f（x）的定义域,Y为其值域,x叫做自变量,y为因变量.
例1：y＝sinx X＝［0,2π］,Y＝［－1,1］ ,它给出了一个函数关系.当然 ,把Y改为Y1＝（a,b） ,a＜b为任意实数,仍然是一个函数关系.
其深度y与一岸边点 O到测量点的距离 x 之间的对应关系呈曲线,这代表一个函数,定义域为［0,b］.以上3例展示了函数的三种表示法：公式法 ,表格法和图像法.
复合函数
有3个变量,y是u的函数,y＝ψ（u）,u是x的函数,u＝f（x）,往往能形成链：y通过中间变量u构成了x的函数：
x→u→y,这要看定义域：设ψ的定义域为U .f的值域为U,当U*ÍU时,称f与ψ 构成一个复合函数 ,例如 y＝lgsinx,x∈（0,π）.此时sinx＞0 ,lgsinx有意义 .但如若规定x∈（－π,0）,此时sinx＜0 ,lgsinx无意义 ,就成不了复合函数.
反函数
就关系而言,一般是双向的 ,函数也如此 ,设y＝f（x）为已知的函数,若对每个y∈Y,有唯一的x∈X,使f（x）＝y,这是一个由y找x的过程 ,即x成了y的函数 ,记为x＝f -1（y）.称f -1为f的反函数.习惯上用x表示自变量 ,故这个函数仍记为y＝f -1（x） ,例如 y＝sinx与y＝arcsinx 互为反函数.在同一坐标系中,y＝f（x）与y＝f -1（x）的图形关于直线y＝x对称.
隐函数
若能由函数方程 F（x,y）＝0 确定y为x的函数y＝f（x）,即F（x,f（x））≡0,就称y是x的隐函数.
多元函数
设点（x1,x2,…,xn） ∈GÍRn,UÍR1 ,若对每一点（x1,x2,…,xn）∈G,由某规则f有唯一的 u∈U与之对应：f：G→U,u＝f（x1,x2,…,xn）,则称f为一个n元函数,G为定义域,U为值域.
基本初等函数及其图像 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数称为基本初等函数.
①幂函数：y＝xμ（μ≠0,μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞,＋∞）,μ为负整数时是（－∞,0）∪（0,＋∞）；μ＝(α为整数),当α是奇数时为（ －∞,＋∞）,当α是偶数时为（0,＋∞）；μ＝p／q,p,q互素,作为的复合函数进行讨论.略图如图2、图3.
②指数函数：y＝ax（a＞0 ,a≠1）,定义成为（ －∞,＋∞）,值域为（0 ,＋∞）,a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时,） ,0＜a＜1 时是严格单减函数.对任何a,图像均过点（0,1）,注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称.如图4.
③对数函数：y＝logax（a＞0）,称a为底 ,定义域为（0,＋∞）,值域为（－∞,＋∞） .a＞1 时是严格单调增加的,0＜a＜1时是严格单减的.不论a为何值,对数函数的图形均过点（1,0）,对数函数与指数函数互为反函数 .如图5.
以10为底的对数称为常用对数 ,简记为lgx .在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数,即自然对数,记作lnx.
④三角函数：见表2.
正弦函数、余弦函数如图6,图7所示.
⑤反三角函数：见表3.双曲正、余弦如图8.
⑥双曲函数：双曲正弦（ex－e-x）,双曲余弦?（ex＋e-x）,双曲正切（ex－e-x）／（ex＋e-x） ,双曲余切（ ex＋e-x）／（ex－e-x）.
[编辑]补充
在数学领域,函数是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）集合里的唯一元素（这只是一元函数f（x）＝y的情况,请按英文原文把普遍定义给出,函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的.
术语函数,映射,对应,变换通常都是同一个意思.