Question

高二椭圆已知椭圆x²/a²+y²=1(a≥2),直线l与椭圆交于A、B两点,M是线段AB的

Answer 1

设直线AB方程为x=ny+c

设A、B点坐标为(x1,y1)、（x2,y2）

则

x1^2+y1^2*a^2=a^2

x2^2+y2^2*a^2=a^2

两式减

(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)*a^2=0

所以

(x1-x2)/(y1-y2)=-a^2(y1+y2)/(x1+x2)=n

又因为k(OC)=k(OM)=[(y1+y2)/2]/[(x1+x2)/2]=-n/a^2

所以l(OM):nx+a^2y=0……（*）

把（*）代入椭圆方程,消去x

(a^2/n^2)y^2+y^2=1

设C点坐标为（x0,y0）,则y0^2=n^2/(a^2+n^2)

那么M点纵坐标为(y0/2)=n/[2√（a^2+n^2)]（平行四边形对角线平分）.

联立直线AB：x=ny+c,椭圆.消x,有

(a^2+n^2)y^2+2ncy-1=0

所以(y1+y2)/2=-2nc/(a^2+n^2),这也是M点的纵坐标

所以n/[2√（a^2+n^2)]=-2nc/(a^2+n^2)

整理有n^2=4c^2-a^2=4c^2-(1+c^2)=3c^2-1

c^2=a^2-b^2=a^2-1>=4-1=3[a>=2]

所以n^2=3c^2-1>=8

故1/n^2