Question

函数f（x）=2x2−ax−3是偶函数．

Answer 1

解题思路：（1）根据f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），求出a=0；

（2）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数；

（3）由（2）得，根据f（x）在[-2，0]的单调性，求出f（x）在[-2，0]上的值域．

（1）∵f（x）是偶函数，

∴f（-x）=f（x），

即2(−x)2−a(−x)−3=2x2−ax−3，

∴x²+ax-3=x²-ax-3；

∴a=0，

∴f（x）=2x2−3；

（2）证明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂；

∴

f(x1)

f(x2)=

2x12−3

2x22−3=2(x1+x2)(x1−x2)；

∵x₁＜x₂＜0，

∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，

∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，

∴

f(x1)

f(x2)＞1，即f（x₁）＞f（x₂）；

∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；

（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0）上是减函数；

∴当x∈[-2，0]时，f（-2）=2(−2)2−3=2，f（0）202−3=[1/8]；

∴函数f（x）在[-2，0]上的值域是[[1/8]，2]．

点评：

本题考点： 幂函数图象及其与指数的关系；幂函数的性质．

考点点评： 本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．