Question

a>0,求证：根号下【a^+（1/a^)】 - 根号2>=a+(1/a)-2

Answer 1

令x=a+1/a

则x²=a²+1/a²+2

所以即证明√(x²-2)-√2>=x-2

即证明√(x²-2)+2>=x+√2

即证明[√(x²-2)+2]²>=(x+√2)²

即证明(x²-2)+4√(x²-2)+4>=x²+2√2x+2

即证明4√(x²-2)>=2√2x

即证明2√(x²-2)>=√2x

即证明[2√(x²-2)]²>=(√2x)²

即证明4x²-8>=2x²

即证明x²>=4

因为a>0

所以x=a+1/a>=2√(a*1/a)=2

所以x²>=4成立

倒推回去

有√(a²+1/a²)-√2>=a+(1/a)-2