内切球半径r,正四面体棱长a
正三角形的外接圆半径=a/3^0.5
正四面体的高=a*(2/3)^0.5
设高与相邻的棱的夹角为q,cos(q)=(2/3)^0.5
球心到顶点距离R=a/2/cos(q)=6^0.5/4*a（也是外接球的半径）
r=高-R=6^0.5/12*a即√ 6/12*a
其内接正方体对角线=2*r.
假设正方体的边长为a
(2r)^2=3a^2
则球的内接正方体棱长是:2√3/3r
故正方体的体积v=8/9*√3*r^3=8/9*√3*(√ 6/12*a)^3
=√ 2/108*a^3.