一、问题的提出
我们已学完三角形和判断三角形全等的方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL.并且还知道三角形有5个心：重心,垂心,内心,外心,旁心.及其他们的定理：例如重心,三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．垂心,三角形的三条高交于一点.那么我们不禁思考：有没有一个三角形三条中线不交于一点?有没有一个三角形的重心到顶点的距离不是它到对边中点距离的2倍呢?有没有三角形违背另外四个心的定理呢?这一切将通过下面的探讨与研究和证明,从而解决这些问题.
二、具体的实例的证明
重心:求证：三条中线交于一点
连接DE
DE//BC（中位线平行于底边）
假设目前只知道BE和DC两条中线.
AO交DE于G
∠ADE=∠B（两线平行同位角相等）
DE//BC（中位线平行于底边）
∠AED=∠ACB（两线平行同位角相等）
△ADE相似于△ABC
F是中点那么G就是中点
再连接HI使其穿过O点
△AHI与△ADE中：
∠AHI=∠ADE
∠AIH=∠AED
∠A=∠A
因此△AHI与△ADE相似
因此O为HI中点
所以F为BC中点
即三条中线交于1点
求证：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍?
证明：如图：△ABC中D为BC中点,E为AC中点,F为AB中点,G为△ABC重心
做BG中点H,GC中点I
∴HI为△GBC的中位线
∴HI//BC,且 2HI=BC
同理：FE是△ABC中位线
∴FE//BC,且 2FE=BC
∴FE//HI,且 FE=HI
∴四边形FHIE是平行四边形
∴HG=GE
又H为BG的中点
∴HG=BH
∴HG=BH=GE
∴2GE=BG
∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍
垂心:设ΔABC,三条高线为AD、BE、CF,AD与BE交于H,连接CF.HA=a,HB=b,HC=c.
因为AD⊥BC,BE⊥AC,
所以HA·BC=0,HB·CA=0,
即a·(c-b)=0,
b·(a-c)=0,
亦即
a·c-a·b=0
b·a-b·c=0
两式相加得
c·(a-b)=0
即HC·BA=0
故CH⊥AB,C、F、H共线,AD、BE、CF交于同一点H.
内心:
己知：在△ABC中,∠A与∠B的角平分线交于点O；
求证：
△ABC角平分线交于点O.
证明：∵点O在∠A的角平分线上,
∴O到AB的距离与O到AC的距离相等；
同理可证：O到BC的距离与O到BA的距离相等.
根据等量代换,可知O到AC与O到BC的距离相等,
又∵AC和BC为∠C的边,因此点O在∠C的角平分线上.
∵O为△ABC中,∠A、∠B、∠C角平分线上的点.
求证:OI=OG=OH
∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6(角平分线)
在△AOI与△AOH中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠AIO=∠AHO(垂直于对应边)
∴△AIO全等于△AHO(AAS)
∴OI=OH(两个三角形全等,三边对应等)
在△COH与△COG中:
AO=AO(公共边)
∠1=∠2(角平分线)
∠COH=∠COG(垂直于对应边)
∴△COH全等于△COG(AAS)
∴OG=OH(两个三角形全等,三边对应等)
外心:
证明:AD=BD=CD
在△AFO与△BFO中:
AF=BF
FO=FO
∠AFO=∠BFO(垂直平分线)
∴△AOF全等于△FOB(SAS)
∴AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
在△AOE与△ECO中:
AE=EC
EO=EO
∠AEO=∠CEO(垂直平分线)
∴△AOE全等于△COE(SAS)
∴AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∵AO=BO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵AO=CO(两个三角形全等,三边对应等)
∴AO=BO=CO
即O为△ABC的外接圆的圆心
证明:三条垂直平分线的延长线交于一点,即GO,CO,EO交于一点.
先做一条与BC平行的穿过O的线段,命名为IH.且HI为△ABC的外接圆的直径.
现在,FO与EO已相交于O点
∵HI//BC(已知)
∵GD⊥BC且D为BC中点
∴GO⊥HI且O为HI中点,即为外接圆的圆心,也就是GO与CO,EO交于O点
旁心:
证明:EO=FO=DO
在△ADO与△AFO中:
∠AFO=∠ADO
∠DAO=∠FAO(角平分线)
AO=AO(公共边)
∴△ADO与△AFO全等
∴DO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
在△FCO与△CEO中:
∠CFO=∠ACEO
∠ECO=∠FCO(角平分线)
CO=CO(公共边)
∴△FCO与△CEO全等
∴EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
∵EO=FO(两个三角形全等,三边对应等)
又∵EO=DO(两个三角形全等,三边对应等)
∴EO=FO=DO