Question

在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做取整函数（也称高斯函数），它表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数．例如

Answer 1

解题思路：由题意知，f（x）是定义域R上的奇函数，且值域是（-[1/2]，[1/2]）；∴f（-x）的值域也是（-[1/2]，[1/2]）；

分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．

由题意，f（x）=

2x

1+2x−

1

2=1-[1

1+2x-

1/2]=[1/2]-[1

1+2x；f（-x）=

2−x

1+2−x-

1/2]=[1

1+2x−

1/2]；

∴f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．

又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0 ＜

1

1+2x＜ 1，∴−

1

2＜

1

1+2x−

1

2＜

1

2；

即−

1

2＜f（-x）＜[1/2]．所以，−

1

2＜f（x）＜[1/2]．

当x=0时，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；

当x≠0时，若x＞0，则0＜f（x）＜[1/2]，-[1/2]＜f（-x）＜0，

∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1，

若x＜0，则y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1．

所以函数y的值域为{0，-1}．

故答案为：{0，-1}

点评：

本题考点： 函数的值域．

考点点评： 本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．