Question

等差数列前n项平方和数列1,2,3,…,n各项的平方和是多少?求公式 及 看好 不光要公式

Answer 1

利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

.

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1

把这n个等式两端分别相加,得

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n

由于1+2+3+...+n=n(n+1)/2

代人上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

当然也可以用数学归纳法等方法做.