设双曲线的焦点在x轴上,且过点A(1,0)和B(-1,0),P是双曲线上异于AB的任意一点,如果三角形APB的垂心H总在此双曲线上,求双曲线的标准方程.
设P(x0,y0).
因为H为垂心,于是PH⊥AB、AH⊥BP.
AB在x轴上,所以PH垂直于x轴,PH所在直线与双曲线只有两个交点,一个是P(x0,y0),另外一个为(x0,-y0)（双曲线的对称性）.因为H也在双曲线上,所以H的坐标为(x0,-y0).
于是,向量AH=(x0-1,-y0)（点H、A的坐标相减）,
向量BP=(x0+1,y0),
因为向量AH⊥BP,所以AH·BP=0（内积为0）,
即(x0-1)*(x0+1)-y0^2=0,
化简得x0^2-y0^2=1.
P是双曲线上任意一点.双曲线上任意一点都满足上面这个方程,说明双曲线的方程为：x^2-y^2=1.