Question

（2010•南京二模）定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜-1的解

Answer 1

解题思路：设x＜0，则-x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．

设x＜0，则-x＞0，

∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log₂x，∴f（-x）=log₂（-x），

∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-log₂（-x），

①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜-1，即log₂x＜-1=

log

1

22，

解得0＜x＜[1/2]，

②当x∈（-∞，0）时，f（x）＜-1，即-log₂（-x）＜-1，

则log₂（-x）＞1=log₂²，解得x＜-2，

综上，不等式的解集是（-∞，-2）∪（0，[1/2]）．

故答案为：（-∞，-2）∪（0，[1/2]）．

点评：

本题考点： 对数函数的单调性与特殊点；奇函数．

考点点评： 本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．