令a>b
f(a)-f(b)=(2a^3+1)-(2b^3+1)
=2(a^3-b^3)
=2(a-b)(a^2+ab+b^2)
=2(a-b)[(a+b/2)^2+(3/4)b^2]
因为a>b,所以a-b>0
又因为(a+b/2)^2>=0.(3/4)b^2>=0
所以(a+b/2)^2+(3/4)b^2>=0
若要取等号则a+b/2=0且b=0
则a=b=0,不符合a>b
所以等号取不到
所以(a+b/2)^2+(3/4)b^2>0
所以2(a-b)[(a+b/2)^2+(3/4)b^2]>0
所以当a>b时
f(a)>f(b)
所以f(x)在（-∞,+∞）上是增函数.