Question

a 为常数 求解

Answer 1

令qn=x,则tanx=3x/(3+ax^2)令f(x)=tanx, g(x)=3x/(3+ax^2)解方程相当于找函数f(x)与g(x)的交点横坐标这是一个超越方程,目前解析解法好像还解不出来,只讨论一下交点的个数f(x)为单调递增的周期函数,以π为周期,关于原点对称g(x)为奇函数,关于原点对称g'(x)=[3(3+ax^2)-3x(2ax)]/(3+ax^2)^2=[9-3ax^2]/(3+ax^2)^2当a>0时,g(x)在[-√(3/a),√(3/a)]上为单调递增函数在(-∞,-√(3/a)][√(3/a),+∞)上为单调递减函数；而且x->∞时,g(x)->0∴在tanx的每一个周期(-π/2+kπ,π/2+kπ)内,f(x)与g(x)均有一个交点,即一个x的解当a<0时,9-3ax^2>0恒成立,g(x)在R上单调递增但在x=±√(-3/a)处有两条渐近线此时,f(x)与g(x)仍然在每一个周期(-π/2+kπ,π/2+kπ)内有一个x的解当a=0时,g(x)=x,退化为直线,此时f(x)与g(x)仍在每一个周期内有一个解综上所述,不论a取何值,f(x)与g(x)均在每一个周期(-π/2+kπ,π/2+kπ)内,有一个x的解可以画图找交点,如下：