Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且2an=Sn+2n+1（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（I）根据2a_n=S_n+2n+1，分别取n=1，2，3，可求出a₁，a₂，a₃的值；

（II）因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立，两式相减可得a_n+1+2=2（a_n+2），然后根据等比数列定义可得结论；

（III）先求出数列{n•a_n}的通项公式，然后利用错位相消法进行求和即可．

（本小题满分13分）

（I） 由题意，当n=1时，得2a₁=a₁+3，解得a₁=3．

当n=2时，得2a₂=（a₁+a₂）+5，解得a₂=8．

当n=3时，得2a₃=（a₁+a₂+a₃）+7，解得a₃=18．

所以a₁=3，a₂=8，a₃=18为所求．…（3分）

（Ⅱ）证明：因为2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立．

两式相减得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2．

所以a_n+1=2a_n+2（n∈N^*），即a_n+1+2=2（a_n+2）．…（5分）

所以数列{a_n+2}是以a₁+2=5为首项，公比为2的等比数列．…（7分）

（Ⅲ） 由（Ⅱ） 得：a_n+2=5×2^n-1，即a_n=5×2^n-1-2（n∈N^*）．

则na_n=5n•2^n-1-2n（n∈N^*）．…（8分）

设数列{5n•2^n-1}的前n项和为P_n，

则P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×（n-1）•2^n-2+5×n•2^n-1，

所以2P_n=5×1×2¹+5×2×2²+5×3×2³+…+5（n-1）•2^n-1+5n•2ⁿ，

所以-P_n=5（1+2¹+2²+…+2^n-1）-5n•2ⁿ，

即P_n=（5n-5）•2ⁿ+5（n∈N^*）．…（11分）

所以数列{n•a_n}的前n项和T_n=(5n-5)•2n+5-2×

n(n+1)

2，

整理得，T_n=（5n-5）•2ⁿ-n²-n+5（n∈N^*）．…（13分）

点评：

本题考点： ["氧气与碳、磷、硫、铁等物质的反应现象","棉纤维、羊毛纤维和合成纤维的鉴别"]

考点点评： 本题主要考查了等比关系的确定，以及利用错位相消法求和，同时考查了计算能力，属于中档题．