若a,b,c是△ABC中A,B,C的对边,A、B、C成等差数列,a,b,c成等比数列,试判断△ABC的形状.

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  • 解题思路:由已知角A,B,C成等差数列可求B=60°,A+C=120°,再由a,b,c成等比数列可得b2=ac,结合正弦定理可得sin2B=sinAsinC,利用二倍角及辅助角公式整理可得sin(2A-30°)=1,

    故有 A=60°,故B=C=60°,从而得到△ABC是等边三角形.

    △ABC中,∵A、B、C成等差数列,可得2B=A+C. 再由A+B+C=180°可得,B=60°,A+C=120°.

    由a,b,c成等比数列可得b2=ac,由正弦定理可得sin2B=sinAsinC,

    即 [3/4]=sinAsin(120°-A)=

    3

    2sinAcosA+[1/2]sin2A=

    3

    4sin2A-[cos2A/4]+[1/4].

    整理可得,sin(2A-30°)=1,故有 A=60°,

    ∴B=C=60°,故△ABC是等边三角形.

    点评:

    本题考点: 三角形的形状判断.

    考点点评: 解三角形的常见类型是结合正弦定理、余弦定理,三角形的内角和、大边对大角等知识综合应用,而二倍角公式及辅助角公式是经常用到的公式,要注意掌握,属于中档题.