解题思路：（1）由题设条件知f（x）=lg[1−x/1+x]（-1＜x＜1）．设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．由此可知g（x）=[1/x+2]（x≠-2）．从而得到F（x）的解析式及定义域．
（2）由f（x）和g（x）都是减函数，知F（x）在（-1，1）上是减函数．由此可知不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．
（1）由y=[2
10x+1-1（x∈R），得10x=
1−y/1+y]，
x=lg[1−y/1+y]．
∴f（x）=lg[1−x/1+x]（-1＜x＜1）．
设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，
则P关于直线y=x-1的对称点P′的坐标为（1+y，x-1）．
由题设知点P′（1+y，x-1）在函数y=[4−3x/x−1]的图象上，
∴x-1=
4−3(1+y)
1+y−1．
∴y=[1/x+2]，即g（x）=[1/x+2]（x≠-2）．
∴F（x）=f（x）+g（x）=lg[1−x/1+x]+[1/x+2]，其定义域为{x|-1＜x＜1}．
（2）∵f（x）=lg[1−x/1+x]=lg（-1+[2/1+x]）（-1＜x＜1）是减函数，
g（x）=[1/x+2]（-1＜x＜1）也是减函数，
∴F（x）在（-1，1）上是减函数．
故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直．
点评：
本题考点： 反函数；函数的定义域及其求法；反证法与放缩法．
考点点评： 本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了