已知三角形AOB中,OB=3,OA=4,AB=5,点P是三角形AOB内切圆上一点,求以PA,PB,PO为直径的三个圆的面

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  • 以O为原点,OA,OB为x,y轴建立直角坐标系,且A(4,0),B(0,3)

    那么三角形OAB的内切圆方程为(x-1)^2+(y-1)^2=1

    以PA,PB,PC为直径的圆面积:S=π[|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2]/4

    所以只需求|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2的最大最小值.

    设P点坐标 (x,y),

    【 则x,y满足:(x-1)^2+(y-1)^2=1,因为P点在圆上,有y^2-2y=-x^2+2x-1】

    则 |PA|^2+|PB|^2+|PO|^2

    =[(x-4)^2+y^2]+[x^2+(y-3)^2]+[x^2+y^2]

    =3x^2+3y^2-8x-6y+25

    =3x^2-8x+25+3(-x^2+2x-1)

    =-2x+22

    由于:(x-1)^2+(y-1)^2=1 所以:(x-1)^2≤1,即 0≤x≤2

    所以:18≤-2x+22≤22

    所以:18≤|PA|^2+|PB|^2+|PO|^2≤22

    则面积的最大值:11π/2

    面积的最小值:9π/2

    具体过程我没有检查,应该没有错吧,你自己看看哈.