x∈(0,1),xf′(x)=f(x)+
3a
2x2(a为常数),
则
1
xf′(x)?
1
x2f(x)=
3a
2(a为常数),
[
1
xf(x)]′=
3a
2=(
3a
2x+C)′,C为任意常数,
1
xf(x)=
3a
2x+C
f(x)=
3a
2x2+Cx
又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,
即S=
∫ 10(y?0)dx═
∫ 10(
3a
2x2+Cx)dx=[
a
2x3+
C
2x2
]10]=
a
2+
C
2=2
所以,C=4-a.
故f(x)=
3a
2x2+Cx=
3a
2x2+(4?a)x.
又因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,所以上式对区间[0,1]适用.
所以,f(x)=
3a
2x2+(4?a)x,x∈[0,1]
因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,
所以,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积
V=
∫ 10πy2dx=π
∫ 10[
3a
2x2+(4?a)x]2dx=π
∫ 10[
9a2
4x4+3a(4?a)x3+(4?a)