设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,并满足xf′(x)=f(x)+3a2x2(a为常数

1个回答

  • x∈(0,1),xf′(x)=f(x)+

    3a

    2x2(a为常数),

    1

    xf′(x)?

    1

    x2f(x)=

    3a

    2(a为常数),

    [

    1

    xf(x)]′=

    3a

    2=(

    3a

    2x+C)′,C为任意常数,

    1

    xf(x)=

    3a

    2x+C

    f(x)=

    3a

    2x2+Cx

    又曲线y=f(x)与x=1,y=0所围的图形S的面积值为2,

    即S=

    ∫ 10(y?0)dx═

    ∫ 10(

    3a

    2x2+Cx)dx=[

    a

    2x3+

    C

    2x2

    ]10]=

    a

    2+

    C

    2=2

    所以,C=4-a.

    故f(x)=

    3a

    2x2+Cx=

    3a

    2x2+(4?a)x.

    又因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,所以上式对区间[0,1]适用.

    所以,f(x)=

    3a

    2x2+(4?a)x,x∈[0,1]

    因为函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内大于零,

    所以,图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积

    V=

    ∫ 10πy2dx=π

    ∫ 10[

    3a

    2x2+(4?a)x]2dx=π

    ∫ 10[

    9a2

    4x4+3a(4?a)x3+(4?a)