（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数可得 f′(x)=
a
x -
1
x 2 =
ax-1
x 2
由f′（x）＞0，可得 x＞
1
a ；由f′（x）＜0，可得 0＜x＜
1
a
∴函数f（x）的单调增区间为 (
1
a ，+∞) ，单调减区间为 (0，
1
a )
当 x=
1
a 时，函数取得极大值为 f(
1
a )=-alna+a ；
（Ⅱ）已知对任意的x＞0，ax（2-lnx）≤1恒成立，则
①2-lnx＞0时， a≤
1
x(2-lnx) 恒成立
令 g(x)=
1
x(2-lnx) ，
∴ g′(x)=
lnx-1
[x(2-lnx)] 2
当lnx＜1时，g′（x）＜0，当1＜lnx＜2时，g′（x）＞0，
∴lnx=1时，即x=e时，函数取得最小值为 g(e)=
1
e
∴ a≤
1
e
②2-lnx＜0时， a≥
1
x(2-lnx) 恒成立
令 g(x)=
1
x(2-lnx) ，
∴ g′(x)=
lnx-1
[x(2-lnx)] 2
当2-lnx＜0时，g′（x）＞0，
∴函数在（e 2，+∞）上单调增，函数无最大值，故此时 a≥
1
x(2-lnx) 不恒成立；
∴实数a的取值范围是 (-∞，
1
e ] ；
（Ⅲ）不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0
由（Ⅰ）知函数f（x）的单调增区间为 (
1
a ，+∞) ，单调减区间为 (0，
1
a )
若 1≤
1
a ≤e ，即
1
e ≤a≤1 ，则函数f（x）在[1，e]上最小值为 f(
1
a )=-alna+a =0，
∴a=e，不满足题意
若 0＜
1
a ＜1 ，即a＞1，则函数f（x）在[1，e]上最小值为f（1）=1，不满足题意
综上知，不存在a，使得函数f（x）在[1，e]上最小值为0．