不能把 I 改为ME.
这里是建议某人去做某事,
1、 suggest sb doing sth.
原句应为 suggested me going to England.（这样的话得需要改两个地方）
2、that引导的宾语从句当做建议,后面所接的从句要用虚拟语气形式.即（should）+动词原形,should 可以省略.
原句应为 He suggested（that）I（should）go to.宾语从句that不充当成分,也可以省略
本题为第二种情形.
所以需要改的是后一句中的staying--stay,would like to+动词原形.