已知函数
，在定义域内有且只有一个零点，存在
， 使得不等式
成立. 若
，
是数列
的前
项和.
（I）求数列
的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列
中，所有满足
的正整数
的个数称为这个数列
的变号数，令
（n为正整数），求数列
的变号数；
（Ⅲ）设
（
且
），使不等式
恒成立，求正整数
的最大值
（I）∵
在定义域内有且只有一个零点
……1分
当
=0时，函数
在
上递增故不存在
，
使得不等式
成立 …… 2分
综上，得
…….3分
…………4分
（II）解法一：由题设
时，
时，数列
递增
由
可知
即
时，有且只有1个变号数；又
即
∴此处变号数有2个
综上得数列
共有3个变号数，即变号数为3 ……9分
解法二：由题设
当
时，令
又
时也有
综上得数列
共有3个变号数，即变号数为3…………9分
（Ⅲ）