Question

设A是单位圆x 2 +y 2 =1上的任意一点，i是过点A与x轴垂直的直线，D是直线i与x轴的交点，点M在直线l上，且

Answer 1

（1）如图1，设M（x，y），A（x ₀， _y0）

∵丨DM丨=m丨DA丨，

∴x=x ₀，|y|=m|y ₀|

∴x ₀=x，|y ₀|= |y|①

∵点A在圆上运动，

∴

②

①代入②即得所求曲线C的方程为

∵m∈（0，1）∪（1，+∞），

∴0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（

），

m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为（

），

。

（2）如图2、3，∵x ₁∈（0，1），设P（x ₁，y ₁），H（x ₂，y ₂），

则Q（x ₂，y ₂），N（0，y ₁），

∵P，H两点在椭圆C上，

∴

①-②可得

③

∵Q，N，H三点共线，

∴k _QN=k _QH，

∴

∴k _PQk _PH=

∵PQ⊥PH，

∴k _PQ·k _PH=-1

∴

∵m＞0，

∴

故存在

，使得在其对应的椭圆

上，对任意k＞0，都有PQ⊥PH。