解题思路：（1）待定系数法：根据图象的对称轴及最小值可设f（x）=a（x-2）2-1，由在z轴上截得线段长为2可知f（x）过点（1，0），带入即可求得f（x）；
（2）数形结合：分三种情况讨论：对称轴在区间[t，t+1]的右侧、在区间内、在区间左侧．
（1）因为y=f（x）的对称轴为x=2，f（x）的最小值为-1，
所以y=f（x）的顶点为（2，-1），
所以y=f（x）的解析式可设为f（x）=a（x-2）2-1，
又因为f（x）在x轴上截得的线段长为2，所以过（1，0）点，所以0=a（1-2）2-1，解得a=1．
所以y=f（x）的解析式为f（x）=（x-2）2-1．
（2）①当t+1＜2即t＜1时，g（t）=f（t+1）=（t-1）2-1；
②当t≤2，t+1≥2即1≤t≤2时，g（t）=f（2）=-1；
③当t＞2时，g（t）=f（t）=（t-2）2-1；
综上得 g(t)=
(t-1)2-1，t＜1
-1，1≤t≤2
(t-2)2-1，t＞2．
点评：
本题考点： 函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．
考点点评： 本题考查二次函数解析式的求解及二次函数在动区间上的最值问题，注意体会本题中数形结合思想及分类讨论思想的运用．