Question

已知△ABC中，∠A=x° （1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC= ___ °（2

Answer 1

解题思路：（1）由∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，易得：2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，即可求得∠BOC的值；

（2）由∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O₁、O₂，即可得∠O₁BC=[2/3]∠ABC，∠O₁CB=[2/3]∠ACB，又由三角形内角和定理，可得：∠A+[3/2]∠O₁BC+[3/2]∠O₁CB=180°，∠BO₁C+∠O₁BC+∠O₁CB=180°，即可求得∠BO₁C的值；

（3）观察（1）（2），即可得规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O₁、O₂、…、O_n-1，

则∠BO₁C=（ [180/n]+[n−1/n]x）°．

（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC=∠ABC，2∠OCB=∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°-12∠A，∵∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+12∠A，∵∠A=x°...

点评：

本题考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．

考点点评： 此题考查了角的等分线的性质以及三角形内角和定理．注意找的规律：若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、On-1，则用x表示∠BO1C=（ [180/n]+[n−1/n]x）°，是解此题的关键．