（1）根据题意可得：A（-1,0）,B（3,0）；
则设抛物线的解析式为y=a（x+1）*（x-3）（a≠0）,
又∵点D（0,-3）在抛物线上,
∴a*（0+1）*（0-3）=-3,解之得：a=1
∴y=x²-2x-3
自变量范围：-1≤x≤3
（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E,连接CM,
在Rt△MOC中,
∵OM=1,CM=2,
∴∠CMO=60°,OC=根号3
在Rt△MCE中,
∵MC=2,∠CMO=60°,
∴ME=4
∴点C、E的坐标分别为（0,根号3）,（-3,0）
∴切线CE的解析式为y=3分之根号3x+根号3
（3）设过点D（0,-3）,“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3（k≠0）
由题意可知方程组y=kx-3y=x2-2x-3只有一组解
所以kx-3=x2-2x-3,及△=0
∴k=-2
∴过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-3．