Question

（2014•泸州二模）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（I）由题设知由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2）．两式相减后可化成a_n+1-1=-[1/2]（a_n-1），由此得出数列{a_n-1}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列，从而能求出数列{a_n}的通项公式．

（II）先由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-[1/2]）^n-1+1]-λ-n²=λ（-[1/2]）^n-1-n²．由题意得b_2n-1＞b_2n，可得出λ＞-

(4n−1)•

4

n

6

．最后结合函数的单调性可得实数λ的取值范围．

（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），

两式相减得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）

∴a_n+1=-[1/2]a_n+[3/2]，则a_n+1-1=-[1/2]（a_n-1），（4分）

由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=[1/2]，则

a2−1

a1−1＝−

1

2，

故数列{a_n-1}是以1为首项，-[1/2]为公比的等比数列．

则a_n-1=（a₁-1）（-[1/2]）^n-1，

∴a_n=（-[1/2]）^n-1+1，（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-[1/2]）^n-1+1]-λ-n²=λ（-[1/2]）^n-1-n²．

由题意得b_2n-1＞b_2n，则有λ（-[1/2]）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-[1/2]）^2n-1-（2n）²，

即λ（-[1/2]）^2n-2[1-（-[1/2]）]＞（2n-1）²-（2n）²，

∴λ＞-

(4n−1)•4n

6，（10分）

而-

(4n−1)•4n

6对于n∈N^*时单调递减，则-

(4n−1)•4n

6的最大值为-

(4−1)4

6=-2，

故λ＞-2．（12分）

点评：

本题考点： 等比关系的确定；数列的函数特性．

考点点评： 本题的考点是数列与不等式的综合，主要考查迭代法求数列通项公式的方法，考查最值法解决恒成立问题，关键是写出两式，作差化简，构建等比数列．