Question

设p是质数且p>2,正整数k使得（k^2-pk)^(1/2)也是一个正整数,则k为多少?

Answer 1

假设k²-pk=m²,其中m是正整数,则k²-m²=pk,所以(k+m)(k-m)=pk.已知m是正整数,所以k+m和k-m都不能是k,而又知道p是质数,所以说,只能令k=ab,其中k+m=ap,k-m=b.由k+m=ap,得到ab+m=ap.所以m=a(p-b).又因为k-m=b,所以ab-m=b.所以m=b(a-1).所以ap-ab=ab-b,所以ap=2ab-b.所以p=(2ab-b)/a=2b-(b/a),是个整数.所以b是a的倍数.继续,设b=ca,则p=2ac-c=c(2a-1).因为p是质数,所以只能是c=1,2a-1=p,或者c=p,2a-1=1.如果c=p,2a-1=1,则a=1,b=ca=p,所以k=p.然而此时,k²-pk=0.不符题意.所以是c=1,2a-1=p.所以a=(p+1)/2,b=ca=(p+1)/2.所以k=ab=(p+1)²/4.