Question

已知函数fx＝1/3x＾3+1-a/2-ax-a（a＞0）,当a＝1时,设函数fx在区间［t,t+3]上最大值为Mt,最

Answer 1

a=1时,fx=1/3*x^3+1-a/2-ax-a

=1/3*x^3+1-1/2-x-1

=1/3*x^3-x-1/2

对fx求导得

f'x=x^2-1

易知fx在(-∞,-1]上为增函数,在[-1,1]上为减函数,在[1,+∞)上为增函数

t在区间[-3,-1]上,故有0≤t+3≤2

①当-3≤t≤-2时,0≤t+3≤1,fx在[t,t+3]上先增后减

最大值为Mt=f(-1)=1/3*(-1)^3-(-1)-1/2=1/6

最小值为mt=min[f(t),f(t+3)]

由f(t)=f(t+3)解得 t=-2,-1

∴在t∈[-3,-2]上有f(t)f(t+3)

∴最大值Mt=f(t)=1/3*t^3-t-1/2

gt=Mt-mt=1/3*t^3-t-1/2+7/6=1/3*t^3-t+2/3

gt为单调增函数,在[-2,-1]上最小值为g(-2)=2/3-1/3*(-2)^3=10/3

综上所述,gt在[-3,-1]上的最小值为10/3