Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且准线方程为x=-1．

Answer 1

（1）由题意可设抛物线C的方程为y ²=2px，（p＞0），∵准线方程为x=-1，∴ -

p

2 =-1 ，解得p=2．

∴抛物线C的标准方程为y ²=4x；

（2）由抛物线C的标准方程y ²=4x，可得焦点F（1，0）．

设直线l倾斜角为α，以下分类讨论：

（i）当直线l⊥x轴时，弦长|AB|=2p=4．满足：①|AB|≤8；

②联立

x=1

3 x 2 +2 y 2 =2 ，无解，因此不满足条件直线l与椭圆3x ²+2y ²=2有公共点，故直线l倾斜角 α≠

π

2 ．

（ii）当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．（k≠0）．

联立

y=k(x-1)

y 2 =4x ，化为k ²x ²-（2k ²+4）x+k ²=0．∴ x 1 + x 2 =

2k 2 +4

k 2 ，

∴|AB|=x ₁+x ₂+p=

2 k 2 +4

k 2 +2≤8 ，化为k ²≥1．①

联立

y=k(x-1)

3 x 2 +2 y 2 =2 ，化为（3+2k ²）x ²-4k ²x+2k ²-2=0，

若直线l与椭圆3x ²+2y ²=2有公共点，则△=16k ⁴-4（3+2k ²）（2k ²-2）≥0，化为k ²≤3，②．

联立①②可得：1≤k ²≤3，解得 -

3 ≤k≤-1 或 1≤k≤

3 ．

∴

2π

3 ≤α≤

3π

4 或

π

4 ≤α≤

π

3 ．