Question

已知集合S={m|m=x^2-y^2,x,y∈z},T={n|n=2k+1,或n=4k,k∈z},求证:S=T

Answer 1

先证明S包含于T,若x,y为一奇一偶,设x=2p+1,y=2q,则m=(2p+1)^2-q^2=4p^2+4p-4q^2+1

=2(2p^2+2p-2q^2)+1=2K+1属于T

设x和y都是奇数x=2p+1,y=2q+1,m=(2p+1)^2-(2q+1)^2=4(p^2+p-q^2-q)属于T

若x和y都是偶数则x^2-y^2=(2p)^2-(2q)^2=4(p^2-q^2)也属于T,综上S包含于T

另一方面任给n=2k+1=(k+1)^2-k^2,n=4k=(k+1)^2-(k-1)^2,这说明T包含于S

因此S=T