设P(p,q),则1/2*MN*|q|=PM*PN* MN/(4R) ,即|q|=x(4-x)/(2R),平方得4R^2=(4x-x^2)^2 /(q^2)
椭圆离心率为1/2,右准线为x=4,PN=x,则 x /(4-p)=1/2 ,p=4-2x,q^2=3[1-(p^2)/4]=-3(x^2 -4x+3),则(q^2)/3 +3=4x-x^2 ,代入
得4R^2=[(q^2)/3 +3]^2 /(q^2) = (q/3 + 3/q)^2 ,
则2R = | q/3 + 3/q |.
接下来就容易了.
这是提问者所想出来的,在下复制过来的.
接下来是引用自另一位：skycovery
利用海伦定理S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
其中p=(a+b+c)/2
设a为PN长 b为PM长（4-a） c为MN=2
代入公式可得三角形PMN面积S=√[3(3-x)(x-1)]
S=1/2*6*r
r=√[3(3-x)(x-1)]/3
又s=(1-r^2)/2r
R=s^2+1^1
整理可得
外接圆面积为Pi*[x^2*(4-x)^2]/[12(3-x)(x-1)]
我的：
设 | PM |=x,那么 | PN |=4-x
h(x)=πR^2
正弦定理：2RsinP=2
余弦定理：cosP=6/x(4-x)-1
并且由sin^2 P+cos^2 P=1
四个式子联立就可以算出来了（避繁就简,计算其实不难）
h(x)=π(x^4-8x^3+16x^2)/(48x-12x^2-36)