已知：tanB+tanC+根3=根3tanBtanC,那么：
tanB+tanC=-根3(1-tanBtanC)
所以：
tanA=tan(180°-B-C)=-tan(B+C)
=-(tanB+tanC)/(1-tanBtanC)
=根3(1-tanBtanC)/(1-tanBtanC)
=根号3
解得：A=60°
又a=4,b+c=5,则由余弦定理有：
a²=b²+c²-2bc*cosA
a²=(b+c)²-2bc-2bc*cosA
即16=25-2bc-2bc*1/2
得：3bc=9即bc=3
所以：S△ABC=(1/2)*bc*sinA=(1/2)*3*sin60°=3(根号3)/4