Question

已知抛物线P：x 2 =2py （p＞0）．

Answer 1

（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点M（m，2）到焦点F的距离与到准线距离相等，

即M（m，2）到 y=-

p

2 的距离为3；

∴ -

p

2 +2=3 ，解得p=2．

∴抛物线P的方程为x ²=4y．

（ⅱ）抛物线焦点F（0，1），抛物线准线与y轴交点为E（0，-1），

显然过点E的抛物线的切线斜率存在，设为k，切线方程为y=kx-1．

由

x 2 =4y

y=kx-1 ，消y得x ²-4kx+4=0，

△=16k ²-16=0，解得k=±1．

∴切线方程为y=±x-1．

（Ⅱ）直线l的斜率显然存在，设l： y=kx+

p

2 ，

设A（x ₁，y ₁），B（x ₂，y ₂），

由

x 2 =2py

y=kx+

p

2 消y得 x ²-2pkx-p ²=0．且△＞0．

∴x ₁+x ₂=2pk，x ₁•x ₂=-p ²；

∵A（x ₁，y ₁），∴直线OA： y=

y 1

x 1 x ，

与 y=-

p

2 联立可得 C(-

p x 1

2 y 1 ，-

p

2 ) ，同理得 D(-

p x 2

2 y 2 ，-

p

2 ) ．

∵焦点 F(0，

p

2 ) ，

∴

FC =(-

p x 1

2 y 1 ，-p) ，

FD =(-

p x 2

2 y 2 ，-p) ，

∴

FC •

FD =(-

p x 1

2 y 1 ，-p)•(-

p x 2

2 y 2 ，-p) =

p x 1

2 y 1

p x 2

2 y 2 + p 2 =

p 2 x 1 x 2

4 y 1 y 2 + p 2 =

p 2 x 1 x 2

4

x 1 2

2p

x 2 2

2p + p 2 =

p 4

x 1 x 2 + p 2 =

p 4

- p 2 + p 2 =0

∴以CD为直径的圆过焦点F．