Question

设A是3阶矩阵，α1，α2，α3都是3维非零列向量，满足 Aα1=2α1，Aα2=2α2-α1，Aα3=α3，

Answer 1

解题思路：（1）证明线性无关，只需要证明他们的线性和为0

（2）构造矩阵AP=PB，即寻找相似矩阵A=PBP^-1

（3）对角化，可根据相似矩阵能否对角化来判断

（4）特征向量在（3）的过程中就可以得出．

解（1）由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，得

（A-2E）α₁=0，（A-2E）α₂=-α₁，（A-E）α₃=0

设k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0

A-2E左乘上式得-k₂α₁-k₃α₃=0

用A-E左乘上式得 k₁α₁+k₂α₂=0

且α₁，α₂，α₃不为零向量，由Aα₁=2α₁，Aα₃=α₃，知 α₁，α₃为A的特征向量

∴α₁，α₃线性无关

∴上面的两个等式中，k₂=k₃=0，k₁α₁=0

∴k₁=0

∴α₁α₂α₃线性无关．

（2）∵AP=（2α₁，2α₂-α₁，α₃）=（α₁，α₂，α₃）

2−10

020

001

∴矩阵B可以是

2−10

020

001

（3）AP=PB

∴A=PBP^-1

且α₁α₂α₃线性无关

∴P为可逆矩阵

∴A相似与矩阵B

矩阵B不可逆，则A也不可逆

（4）∵A，B相似

∴它们有相同的特征值

即为2，2，1

由Aα₁=2α₁，Aα₂=2α₂-α₁，Aα₃=α₃，知

α₁，α₃为A的特征向量

点评：

本题考点： 矩阵可相似对角化的充分必要条件；对角矩阵的概念及其性质；向量组线性无关的判定与证明．

考点点评： 考察的点比较多，都是相关的，需要不断利用已知条件来得到新的结论．