Question

设数列{an}的前n项和Sn满足6Sn+1=9an（n∈N+）

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）根据S_n与a_n的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用等比数列的前n项和即可证明不等式b₁+b₂+…+b_n＜[9/2]．

（Ⅰ）当n=1时，6a₁+1=9a₁，解得a₁=[1/3]，

当n≥2时，6S_n+1=9a_n①，6S_n-1+1=9a_n-1 ②，

两式相减得6a_n=9a_n-9a_n-1，

即a_n=3a_n-1，

即{a_n}是首项a₁=[1/3]，公比q=3的等比数列，

则数列{a_n}的通项公式an＝

1

3•3n−1＝3n−2；

（Ⅱ）若数列{b_n}满足b_n=[1

an，则b_n=

1

an=(

1/3)n−2，

则{b_n}是首项b₁=3，公比q=

1

3]的等比数列，

则b₁+b₂+…+b_n=

3(1−(

1

3)n)

1−

1

3=[9/2[1−(

1

3)n]＜

9

2]．

即不等式成立．

点评：

本题考点： 数列的求和；数列递推式．

考点点评： 本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和的计算，要求熟练掌握等比数列的相关公式．