Question

已知实数a，b，c∈R，a+b+c=1，求4a+4b+4c2的最小值，并求出取最小值时a，b，c的值．

Answer 1

解题思路：已知a+b+c=1求4^a+4^b+

4

c

2

的最小值，4^a，4^b，

4

c

2

三个数都是正数，用三项的基本不等式求解，等号成立的条件是a=b=c²，从而求出最小值时a，b，c的值．

由均值不等式，得4^a+4^b+4c2≥3

34a•4b•4c2

=3

34a+b+c2

（当且仅当a=b=c²时等号成立）

∵a+b+c=1

∴a+b=1-c

则a+b+c²=c²-c+1=（c-[1/2]）²+[3/4]，

当c=[1/2]时，a+b+c²取得最小值[3/4]．

从而当a=b=[1/4]，c=[1/2]时，4^a+4^b+4c2取最小值，最小值为3

2．

点评：

本题考点： 平均值不等式在函数极值中的应用．

考点点评： 此题考查了创造条件使用平均值不等式求取值范围问题，三个数的条件不等式，在使用平均值不等式求最值注意正、定、等，体现了消元的数学思想方法．是中档题．