解题思路：首先假设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，则第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
根据题意，到第15分钟时，乙比甲多跑15（b-a）米，甲提速后3分钟（即第18分）追上乙，
所以（a+x-b）×3=15（b-a） ①
接着甲又跑了5分钟（即第23分钟），已经超过乙一圈（400米）再次追上乙，
所以（a+x-b）×5=400 ②
到了第23分50秒时甲跑完10000米，这10000米
前（15分）是以速a跑完的，后面的
8
5
6
分是以速度a+x跑完的，
所以15a+
8
5
6
（a+x）=10000，
由①÷②得b-a=16（米/分），x=96米/分．
将b-a、x代入③得 a=384米/分，所以b=400米/分．
乙是一直以400米/分的速度跑完10000米的，
∴乙跑完全程所用的时间=[10000/400]=25（分）．
设出发时甲速度为a米/分，乙速度为b米/分．第15分钟甲提高的速度为x米/分，
所以第15分钟后甲的速度是（a+x）米/分．
由题意得，
(a+x−b)×3＝15(b−a)①
(a+x−b)×5＝400 ②
15a+8
5
6(a+x)＝10000③
由①÷②得b-a=16（米/分），那么x=96米/分
将x代入③得 a=384米/分
∴b=400米/分．
∴乙跑完全程所用的时间=[10000/400]=25（分）．
故答案为25．
点评：
本题考点： 三元一次方程组的应用．
考点点评： 解决本题的关键是从求甲的原速度与甲提高的速度为切入点，求得甲的速度，乙速度也就不难确定了．