如图,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面ABEAE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE,BD∩AC=G.

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  • 解题思路:(1)证明AE⊥平面BCE,利用线面垂直的判定定理,只需证明AE⊥BC,BF⊥AE即可;

    (2)连接GF,由三角形的中位线可得到GF∥AE,再由线面平行的判定定理得证;

    (3)以F顶点,以平面BDC为底,求出F到平面BCD的距离,再用三棱锥的体积公式求解.

    (1)证明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC,

    ∴BC⊥平面ABE,

    ∵AE⊂平面ABE,

    ∴AE⊥BC.

    又∵BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE

    ∴BF⊥AE,

    ∵BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE

    (2)证明:连接 GF,∵BF⊥平面ACE,∴BF⊥CE

    ∵BE=BC,∴F为EC的中点,

    ∵G是AC的中点,

    ∴FG∥AE

    ∵FG⊂平面BFD,AE⊄平面BFD

    ∴AE∥平面BFD;

    (3)取AB中点O,连接OE.因为AE=EB,所以OE⊥AB.

    因为AD⊥面ABE,OE⊂面ABE,所以OE⊥AD,所以OE⊥面ADC

    因为BF⊥面ACE,AE⊂面ACE,所以BF⊥AE.

    因为CB⊥面ABE,AE⊂面ABE,所以AE⊥BC.

    又BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE,又BE⊂面BCE,所以AE⊥EB.

    ∵AE=EB=2,∴AB=2

    2,∴OE=

    2

    ∴F到平面BCD的距离为

    2

    2

    ∴四面体BCDF的体积[1/3]×[1/2]×2×2

    2

    2=[2/3]

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题主要考查线线,线面关系的转化,考查了线面平行,垂直的判定定理以及三棱锥体积的求法,属中档题.