不定积分啊!f ' (e^x)=asinx+bcosx 求∫f(x)dx

1个回答

  • f ' (e^x)=asinx+bcosx

    e^xf ' (e^x)dx=ae^xsinxdx+be^xcosxdx

    两边积分∫e^xf ' (e^x)dx=a∫e^xsinxdx+b∫e^xcosxdx

    ∫f ' (e^x)de^x=a∫e^xsinxdx+b∫e^xcosxdx

    左边等于f(e^x)

    下面用分部积分求右边

    ∫e^xsinxdx=∫sinxde^x=sinxe^x-∫e^xdsinx=sinxe^x-∫e^xcosdx=sinxe^x-∫cosxde^x

    =sinxe^x-cosxe^x+∫e^xdcosx=sinxe^x-cosxe^x-∫sinxe^xdx

    所以∫e^xsinxdx=(1/2)e^x(sinx-cosx)

    同理∫e^xcosxdx=(1/2)e^x(sinx+cosx)

    所以f(e^x)=(1/2)e^x[(a+b)sinx+(b-a)cosx+C

    所以换元令t=e^x,x=lnt

    f(t)=t/2×[(a+b)sin(lnt)+(b-a)cos(lnt)]

    f(x)=x/2×[(a+b)sin(lnx)+(b-a)cos(lnx)]

    刚开始就换元也是一回事,完全可以.