解题思路：由于摆线类似于拱形，与x轴所围成图形绕y轴旋转所得的旋转体，用垂直于y轴的平面去截，截面是一个圆环，因此，采用体积微元法．首先将平行截面圆环的面积表示出来，然后把圆环所在的柱面体积求出来，得到体积微元，积分即可．
首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：
dS=2πxdx，
圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt
将x，y参数方程代入得：
dV=2π[a（t-sint）][a（1-cost）][a（1-cost）dt]=2πa3（t-sint）（1-cost）2dt
∴V＝
∫2π02πa3(t−sint)(1−cost)2dt
作变换u=t-π，则 t=u+π，dt=du，
原积分变为：
V＝
∫π−π2πa3[(u+π)−sin(u+π)]•[1−cos(u+π)]2du
=2πa3
∫π−π[π+（u+sinu）]（1+cosu）2du
=2π2a3
∫π−π(1+cosu)2du+
2πa3∫π−π(u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 （u+sinu）（1+cosu）2为奇函数，因此在[-π，π]上，积分为0
∴V＝2π2a3
∫π−π(1+cosu)2du=2π2a3
∫π−π(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3
∫π−πcosudu+π2a3
∫π−π(1+cos2u)du
=4π2a3−4π2a3sinu
|π−π+2π2a3−
1
2π2a3sin2u
|π−π
=6π2a3
点评：
本题考点： 旋转体的体积及侧面积的计算．
考点点评： 此题虽然是旋转体体积，但是不好用旋转体的体积公式，因为用平行于x轴的直线去截图形，与边界相交的两个点的横坐标不好表示出来．此外，此题在求解过程中，用到了定积分的“偶倍奇零”性质，以简化运算．