Question

关于介值定理、最值定理的理解1、介值定理：设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在这区间必有最大最小函数值：f(

Answer 1

这里有一题用了零值定理

设f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证存在一点ξ∈(0,1),使f'(ξ)=1

证明：令F(x)=f(x)-x

F(1)=f(1)-1=-10

由零值定理知,至少存在一点η∈(1/2,1),使F(η)=0

因为F(0)=0=F(η),那么F(x)在[0,η]上满足罗尔定理,则至少存在一点ξ∈(0,η)使F'(ξ)=0

即存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1