解题思路:(1)m1从A滑到B机械能守恒,和m2发生碰撞时动量守恒,据此可求出碰撞时的共同速度,当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开,此时m1与m2的速度与此共同速度相等,然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度.
(2)a.m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒,据此求出m1碰后速度,然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度.
b.根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度,注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度,第二次m1的速度小于m2的速度,据此可正确解答.
(1)m1从A滑到B重力势能转化为动能,m1的速度达到v1
m1gR=
1
2m1
v21 ①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态,系统动量守恒,碰撞后以共同速度v共向右运动.
m1v1+m2v2=(m1+m2)v共 ②
联立①②解得:v共=
v1
2=
2gR
2
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回,当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开,此时m1与m2的速度都为v共,m1以v共为初速度滑上圆弧轨道,设m1能达到的最大高度是h
[1/2m1
v2共=m1gh
解得 h=
1
4R
故m1反弹后能达到的最大高度为:h=
1
4R.
(2)撤去弹簧及固定装置后.
a.m1与m2发生碰撞时系统动量守恒,且没有机械能损失.设向右为正方向,有
m1v1=m1
v′1+m2
v′2]③
[1/2m1
v21=
1
2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2④
代入m1=
1
2m2,联系③④可得:
v′1=−
1
3
2gR],负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道,设m1能达到的最大高度是h′,有:
[1/2m1(
v′1)2=mgh′
将
v′1]带入上式,可得:h′=
1
9R
故碰撞后m1能达到的最大高度为:h′=
1
9R.
b.m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞,设向右为正方向,有
m1v1=m1
v′1+m2
v′2
[1/2m1
v21=
1
2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2
解得:
v′1=
(m1−m2)v1
m1+m2],
v′2=
2m1v1
m1+m2
要能发生第二次碰撞的条件是
v′1<0,即m1<m2;且|
v′1|>
v′2,即|m1-m2|>2m1,可得
m2>3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下,以大小为|
v′1|=
m2−m1
m1+m2v1的速度与速度为
v′2=
2m1v1
m1+m2的m2发生第二次碰撞,有:
m1|
v′1|+m2
v′2=m1
v″1+m2
v″2
[1/2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2=
1
2m1(
v″1)2+
1
2m2(
v″2)2
第二次碰后m1和 m2的速度
v″1=
4m1m2−(m2−m1)2
(m1+m2)2v1⑥
v″2=
4m1(m2−m1)
(m1+m2)2v1⑦
不发生第三次碰撞的条件为:|
v″1]|≤
v″2
则:-4m1(m2-m1)≤4m1m2−(m2−m1)2≤4m1(m2-m1)
解不等式−4m1(m2−m1)≤4m1m2−(m2−m1)2
得:(5−2
5)m1≤m2≤(5+2
5)m1⑧
解不等式:4m1m2−(m2−m1)2≤4m1(m2−m1)
得m2≥3m1或m2≤-m1⑨(9)
综合⑤、⑧、⑨,m1与m2只能发生两次碰撞的条件为:3<
m2
m1≤5+2
5
故要使m1与m2只能发生两次碰撞,m2与 m1的比值范围为:3<
m2
m1≤5+2
5.
点评:
本题考点: 动量守恒定律;机械能守恒定律.
考点点评: 本题考查了动量和能量问题,有一定的难度,难点在于数学运算,因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用.