解题思路：（1）m1从A滑到B机械能守恒，和m2发生碰撞时动量守恒，据此可求出碰撞时的共同速度，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度与此共同速度相等，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
（2）a．m1与m2发生碰撞时动量守恒同时机械能守恒，据此求出m1碰后速度，然后根据机械能守恒即可求出m1能达到的最大高度．
b．根据m1与m2发生碰撞时动量守恒、机械能守恒求出他们的碰后速度，注意第一次碰后m1的速度大于m2的速度，第二次m1的速度小于m2的速度，据此可正确解答．
（1）m1从A滑到B重力势能转化为动能，m1的速度达到v1
m1gR＝
1
2m1
v21 ①
m1与m2发生碰撞时弹簧处于自然状态，系统动量守恒，碰撞后以共同速度v共向右运动．
m1v1+m2v2=（m1+m2）v共 ②
联立①②解得：v共＝
v1
2＝
2gR
2
m1与m2一起将弹簧压缩后又被弹回，当弹簧恢复到自然长度时m1与m2重新分开，此时m1与m2的速度都为v共，m1以v共为初速度滑上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h
[1/2m1
v2共＝m1gh
解得 h＝
1
4R
故m1反弹后能达到的最大高度为：h＝
1
4R．
（2）撤去弹簧及固定装置后．
a．m1与m2发生碰撞时系统动量守恒，且没有机械能损失．设向右为正方向，有
m1v1＝m1
v′1+m2
v′2]③
[1/2m1
v21＝
1
2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2④
代入m1＝
1
2m2，联系③④可得：
v′1＝−
1
3
2gR]，负号表示m1向左运动
此后m1冲上圆弧轨道，设m1能达到的最大高度是h′，有：
[1/2m1(
v′1)2＝mgh′
将
v′1]带入上式，可得：h′＝
1
9R
故碰撞后m1能达到的最大高度为：h′＝
1
9R．
b．m1滑到水平轨道以速度v1与静止的m2发生第一次碰撞，设向右为正方向，有
m1v1＝m1
v′1+m2
v′2
[1/2m1
v21＝
1
2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2
解得：
v′1＝
(m1−m2)v1
m1+m2]，
v′2＝
2m1v1
m1+m2
要能发生第二次碰撞的条件是
v′1＜0，即m1＜m2；且|
v′1|＞
v′2，即|m1-m2|＞2m1，可得
m2＞3m1 ⑤
m1从圆弧轨道上滑下，以大小为|
v′1|=
m2−m1
m1+m2v1的速度与速度为
v′2＝
2m1v1
m1+m2的m2发生第二次碰撞，有：
m1|
v′1|+m2
v′2＝m1
v″1+m2
v″2
[1/2m1(
v′1)2+
1
2m2(
v′2)2=
1
2m1(
v″1)2+
1
2m2(
v″2)2
第二次碰后m1和 m2的速度
v″1＝
4m1m2−(m2−m1)2
(m1+m2)2v1⑥
v″2＝
4m1(m2−m1)
(m1+m2)2v1⑦
不发生第三次碰撞的条件为：|
v″1]|≤
v″2
则：-4m1（m2-m1）≤4m1m2−(m2−m1)2≤4m1（m2-m1）
解不等式−4m1(m2−m1)≤4m1m2−(m2−m1)2
得：(5−2
5)m1≤m2≤(5+2
5)m1⑧
解不等式：4m1m2−(m2−m1)2≤4m1(m2−m1)
得m2≥3m1或m2≤-m1⑨（9）
综合⑤、⑧、⑨，m1与m2只能发生两次碰撞的条件为：3＜
m2
m1≤5+2
5
故要使m1与m2只能发生两次碰撞，m2与 m1的比值范围为：3＜
m2
m1≤5+2
5．
点评：
本题考点： 动量守恒定律；机械能守恒定律．
考点点评： 本题考查了动量和能量问题，有一定的难度，难点在于数学运算，因此平时训练中要注意数学知识在物理中的应用．