解题思路：（1）此题又有两种证法：
证法一：取边BC的中点E，连接ME，利用已知条件求证△MEC≌△NCD．可得CM=DN，又利用CM∥DN，
可证四边形MCDN是平行四边形即可．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．由
CD＝
1
2
BC
，CD=DF，可得BC=CF，再利用MC∥DN，可得ND∥AF，再利用CD=DF，可证MN∥BC即可．
（2）根据MN∥BD，BM与DN不平行，可得四边形BDNM是梯形，再利用∠ACB=90°，可得CM=BM=AM，然后即可证明四边形BDNM是等腰梯形．
（1）证法一：取边BC的中点E，连接ME．
∵M是边AB的中点，
∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．
∴∠MEC=∠NCD．
∵CD＝
1
2BC，∴CD=CE．
∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．
∴△MEC≌△NCD．
∴CM=DN．
又∵CM∥DN，
∴四边形MCDN是平行四边形．
∴MN∥BC．
证法二：延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．
∵CD＝
1
2BC，CD=DF，
∴BC=CF．
∵BM=AM，
∴MC∥AF．
∵MC∥DN，
∴ND∥AF．
又∵CD=DF，
∴CN=AN．
∴MN∥BC．
（2）答：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．
证明：∵MN∥BD，BM与DN不平行，
∴四边形BDNM是梯形，
∵∠ACB=90°
M是边AB的中点，
∴BM=AM，
∵CM是Rt△ABC的中线，
∴CM=BM=AM，
∵CM=DN，
∴BM=DN，
∴四边形BDNM是等腰梯形．
点评：
本题考点： 等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．
考点点评： 此题主要考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，综合性较强，是一道典型的题目．